微积分:复数和复变函数_复数的微积分
实函数求导、求积分以及级数概念可推广到复函数。
一、复数
- 复数源于解方程
三次方程的“魔咒”：故事的核心并非我们熟知的二次方程 x^2 + 1 = 0，而是三次方程。16世纪意大利数学家（如塔尔塔利亚、卡尔达诺）发现了三次方程的求根公式。
邦贝利的突破：数学家拉斐尔·邦贝利在处理方程 x^3= 15x + 4 时，发现其一个显而易见的实根是 x=4，但套用卡尔达诺公式却得到了一个包含 √(-121) 的复杂表达式。他意识到，如果规定 √(-1) 遵循基本的代数规则，那么这些“虚数”部分竟然可以相互抵消，最终得到实数解4。他首次为 √(-1)} 制定了初步的运算法则。
笛卡尔最早给这些数取名为“虚数”，与“实数”相对。
莱昂哈德·欧拉在1777年首次引入了符号 i（取自“imaginary”的首字母）来表示 √(-1)，并系统地使用了复数形式 a + bi。
复平面（阿尔冈平面）：挪威的卡斯帕尔·韦塞尔和法国的让-罗贝尔·阿尔冈独立地提出了复平面的概念。
方法：在二维平面上，用横轴表示实部，用纵轴表示虚部。任何一个复数 a + bi都可以用平面上的点 (a, b) 或一个从原点指向该点的向量来表示,带来了复数强大的几何直观性。
（1）模：向量的长度 r = √(a^2 + b^2)。
x=rsinθ；y=rcosθ
z=x+yi=r(sinθ+icosθ)
（2）辐角：向量与正实轴的夹角 θ。
tanθ=b/a
（3）乘法的新理解：复数的乘法对应于向量的旋转和缩放。
乘以 i，就等价于逆时针旋转90度！乘以 -i 就是顺时针转90度。
因为 i .(a + bi) = -b + ai，点 (a, b) 变成了 (-b, a)，这正是旋转90度的变换!
作为二维平面的“旋转算子”：这是最深刻、最关键的一步。
- 复数运算规则
（1）i^2=-1
（2）相等
如果(a + bi)=c+di，则a=c；b=d
（3）加减法
(a + bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
（4)乘法
(a + bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
除法
（5）共轭
共轭关系与模长：
- 欧拉公式
世上最美公式：指数函数和三角函数之间的桥梁！
- 向量相乘：
- 单位圆单位根
- 代数基本原理
由单元根之公式，很容易得出：
任何一个非常数的一元复系数多项式，都至少有一个复数根。
任何一个 n 次复系数多项式，在复数范围内，恰好有 n 个根（重根按重数计算），并且可以完全分解为 n 个一次因式的乘积。
二、复变函数
- 复数域
全体复数的子集。
- 复变函数
复变函数
设 D是复平面上的一个点集（称为定义域）。
如果存在一个对应法则 f，使得对于每一个复数 z = x + iy 都属于 D，都有唯一确定的复数 w = u + iv与之对应，则称 f 为定义在 D 上的一个复变函数，记作：
w=f(z)
由于 z = x + iy，w = u + iv，函数 f本质上可以看作是两个二元实函数的组合：
w=f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)
其中 u(x, y)和 v(x, y)分别是函数 f的实部和虚部。
2.1极限
设函数 z (t)=x(t)+iy(t),如果存在一个复数 z0，使得对于任意给定的正数 ε> 0，总存在正数 δ > 0，0＜|t-t0|＜δ时，恒有：
∣z(t)-z0∣<ε
成立，则称 z0为 z(t)当 t趋近于 t0时的极限，记作：
复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),如果存在一个复数 w0，使得对于任意给定的正数 ε> 0，总存在正数 δ > 0，0＜|z-z0|＜δ时，恒有：
|f(z)-w0|＜ε成立，则z趋近于z0=x0+iy0，有极限w0=u0+iv0
2.2 连续
设函数 w = f(z) 在点 z0的某个邻域 |z - z0| < r内有定义，如果同时满足以下条件：
（1）f(z0)存在（即 z0在函数的定义域内）
（2）z→ z0, f(z) 极限存在，且
则称函数 f(z)在点 z0处连续。
2.3 导数
求导是复分析中最重要的概念，也是与实分析差别最大的地方。
设函数 w = f(z)在点 z0的某个邻域 |z - z0| < r 内有定义，如果极限
存在，则称函数 f(z)在点 z0处可导或可微，并将该极限值称为 f(z) 在 z0处的导数，记作f'(z0)即
形式一致性：这个定义在形式上与实函数导数的定义一模一样。
本质严苛性：其内涵远比实函数导数严格。因为 Δ z 是一个复数，它可以从复平面上的任意方向趋于 0。
示例
求导规则
- 柯西黎曼方程
z=x+iy
w=f(z)=u+iv=u(x,y)+iv(x,y)
计算点z0=x0+iy0处的导数,首先x→x0,z-z0=(x+iy0)-(x0+iy0)=x-x0
即:
再y→x0,z-z0=(x0+iy)-(x0+iy0)=y-y0
比较两个等式的实部和虚部可得:
无论 Δz以何种方式、沿何种路径趋于 0（例如沿实轴、虚轴或任何曲线），比值 Δw/Δ z}都必须趋于同一个值。这极端严苛性，导致了函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在一点可导的必要条件是它的实部 u(x,y) 和虚部 v(x,y) 在该点满足上述之柯西-黎曼方程,并且，如果u和v的偏导数还存在且连续，那么C-R方程同时也是充分条件。
三、复幂级数
1.序列
对每一个正数ε，都存在一个正整数N和一个复数L，且
该序列是收敛的，且收敛于L；否则该序列是发散的。
- 级数
- 级数与欧拉公式
- 复对数函数
四、共形地图
共形映射（Conformal Mapping），也称为保角映射，是指一种能保持角度和图形局部形状的变换。而解析函数（即复可导函数）正是产生共形映射的主要工具。
对于一个在点 z0处解析（即可导）且导数 f'(z0)≠0的函数 f(z)，它在 z0 点附近的行为可以用一个简单的变换来近似：
f(z)≈f(z0)+f′(z0)(z-z0)
在 z0 附近，函数 f的变换效果相当于：
（1）一个平移：由 f(z0)实现。
（2）一个旋转：由 f'(z0)的辐角 arg(f'(z0))实现。
它将所有从 z0出发的向量旋转同一个角度。
（3）一个缩放：由 f'(z0)的模 |f'(z0)| 实现。它将所有从 z0出发的向量长度缩放相同的倍数。
因为所有曲线在 z0点都被旋转了同一个角度并缩放了同一个因子，所以任意两条曲线在 z0 点的夹角（包括大小和方向）在映射后都保持不变。
这就是“保角”的含义。
无穷小相似，就是现代术语中的共形概念：每个曲面S一定有共形地图，而且是无穷多种共形地图！
地理学中的墨卡托投影，就是一种共形地图。
莫比乌斯变换就是最重要的一种共形地图。
共形与反共形：
共形地图右图保持夹角的大小和指向都不变；反共形地图（左图）保持夹角的大小不变，并使角的指向相反。
可微复映射f(z)的局部作用是伸扭（由伸缩和扭转复合而成的变换），用复数描述为
f'(z)=f(z)的伸扭=（伸缩)e^(i扭转）=ae^(iθ)
等距变换，不允许缩放→相似变换，允许全局缩放→共形变换，允许随位置变化而缩放加旋转，最灵活最强大。
任何解析且导数非零的复函数，都是共形变换，是复分析的核心！
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