1.4与它的导数，e到底是什么东西

有没有一个函数的导数是它自己呢？常函数显然是这样的函数。幂函数不是这样的函数，因为求导之后幂指数要-1。但是把无穷多个幂函数加起来，就可以构造出这样的函数。

【练习】你可以自己先想一想怎么构造，跟无穷等比数列求和的方法差不多。比如这个函数：（exp 是函数的名字，表示 exponent，跟 sin一样）

首先，看到求和符号，不要怕！不要怕！！不要怕！！！

这是无穷多个幂函数求和，但是结果并不是无穷大，而是一个有限的数。可以简单判断一下：每一项的分子是，分母是，当 n很大时，，每一项都趋于 0，求和之后确实是一个有限的数。

（“n很大”指的是，大家遇到“很大”“很小”的时候要想清楚谁远大于谁。）

如果把它一项一项写出来就是，然后求导，可以发现导数真的跟原函数一样。

但是有一个问题：如果原函数，那么导数也会。如果一个函数满足“导数是它自己”这 个要求，那么 之后的函数也满足。上面这个exp x的方便之处就在于exp 0 = 1，所以大家都喜欢用它。可以证明，满足导数是它自己且这两个要求的函数有且只有这一个。（这是微分方程的事情，更严格的证明要等到函数空间）

exp 1是一个数学中经常会遇到的数，我们把它叫作 e，这就是高中课本中的 。 有兴趣的同学可以用二项式的一些性质证明 exp x·exp y = exp(x + y)。以后还可以证明，对任何实数c，。这就是指数函数满足的两条性质，,。所以对任何实数 x，， 它就是大家都知道的以e为底的指数函数。

有些地方会用另一个极限来定义e，而这里的定义是从“导数是它自己”这个要求出发的，看起来比较有道理。