AP 微积分:导数(Derivatives)常考试题及解析
1. 导数的基本计算（Basic Derivative Computation）
题目 1（Problem 1）：求函数 f(x) = 3x^2 - 5x + 2 的导数（Find the derivative of f(x) = 3x^2 - 5x + 2）。
解析（Solution）：
- 根据幂函数求导规则（Power Rule）：
f'(x) = d/dx (3x^2) - d/dx (5x) + d/dx (2)
= 6x - 5
答案（Answer）：f'(x) = 6x - 5
题目 2（Problem 2）：求函数 g(x) = x^3 - 4x + 7 的导数（Find the derivative of g(x) = x^3 - 4x + 7）。
解析（Solution）：
- 使用幂法则（Using the Power Rule）：
g'(x) = d/dx (x^3) - d/dx (4x) + d/dx (7)
= 3x^2 - 4
答案（Answer）：g'(x) = 3x^2 - 4
2. 乘法法则（Product Rule）
题目 1（Problem 1）：求 f(x) = (x^2 + 1)(x - 3) 的导数（Find the derivative of f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)）。
解析（Solution）：
- 使用乘法法则（Using the Product Rule）：
f'(x) = (x^2 + 1)'(x - 3) + (x^2 + 1)(x - 3)'
= (2x)(x - 3) + (x^2 + 1)(1)
= 2x(x - 3) + x^2 + 1
= 2x^2 - 6x + x^2 + 1
= 3x^2 - 6x + 1
答案（Answer）：f'(x) = 3x^2 - 6x + 1
3. 商法则（Quotient Rule）
题目 1（Problem 1）：求 f(x) = (x^2 - 1) / (x + 2) 的导数（Find the derivative of f(x) = (x^2 - 1) / (x + 2)）。
解析（Solution）：
- 使用商法则（Using the Quotient Rule）：
f'(x) = [(x^2 - 1)'(x + 2) - (x^2 - 1)(x + 2)'] / (x + 2)^2
= [(2x)(x + 2) - (x^2 - 1)(1)] / (x + 2)^2
= [2x(x + 2) - (x^2 - 1)] / (x + 2)^2
= [2x^2 + 4x - x^2 + 1] / (x + 2)^2
= (x^2 + 4x + 1) / (x + 2)^2
答案（Answer）：f'(x) = (x^2 + 4x + 1) / (x + 2)^2
4. 链式法则（Chain Rule）
题目 1（Problem 1）：求 f(x) = (3x^2 + 1)^5 的导数（Find the derivative of f(x) = (3x^2 + 1)^5）。
解析（Solution）：
- 使用链式法则（Using the Chain Rule）：
f'(x) = 5(3x^2 + 1)^4 * (6x)
= 30x(3x^2 + 1)^4
答案（Answer）：f'(x) = 30x(3x^2 + 1)^4
5. 隐函数求导（Implicit Differentiation）
题目 1（Problem 1）：已知 x^2 + y^2 = 25，求 dy/dx（Given x^2 + y^2 = 25, find dy/dx）。
解析（Solution）：
- 对两边求导（Differentiate both sides）：
d/dx (x^2) + d/dx (y^2) = d/dx (25)
2x + 2y dy/dx = 0
- 解出 dy/dx（Solve for dy/dx）：
dy/dx = -x / y
答案（Answer）：dy/dx = -x / y
6. 二阶导数（Second Derivative）
题目 1（Problem 1）：求 f''(x) 若 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2（Find f''(x) if f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2）。
解析（Solution）：
- 先求 f'(x)（First, find f'(x)）：
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9
- 再求 f''(x)（Then, find f''(x)）：
f''(x) = 6x - 12
答案（Answer）：f''(x) = 6x - 12