本篇为您带来对数运算的定义和运算定律。

我们已经知道幂运算的定义，并将正数的幂指数拓展到了全体实数，现在我们来研究它的逆运算。如果已知底数和幂的值，能否求得指数的值，所得的值是否唯一？

我们已经知道，指数函数

不论a取何值，在上都是单调的，因此y与x存在一一对应的关系，所以指数函数存在反函数，我们把这类函数称作对数函数（logarithmic function），记作

由此产生的运算称作以a为底x的对数（logarithm），a叫做对数的底数（base），x叫做真数（antilogrithm）。它与指数函数的关系为

式7.3.2.1

因此我们可以通过代换得到

式7.3.2.2

我们通过幂运算的性质可以得到对数运算的性质。设

则

根据幂运算的性质，有

对以上各式取以a为底的对数，得到对数运算的性质

式7.3.2.3

式7.3.2.4

式7.3.2.5

我们还会经常用到对数换底公式（base changing formula for logarithms）：

式7.3.2.6

证明：设

则

两边取以c为底的对数

根据对数运算性质（式7.3.2.5），有

证毕。

我们在证明对数运算性质时，用到了两边取对数的操作。在做这个操作时需要注意取对数对象的取值范围是，尤其是解对数方程时会造成漏根。