万变不离其宗，数学永流传。

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这是-道含有3个根式的根式方程，下面分享三种思路求解方法，其关键是构造同构。

后来会发现这道方程反应内在的关系:

[√（x+1）+√（x-1）]^2+2[√（x+1）+√（x-1）]-8=0

√（x+1）+√（x-1）=2

√（x+1）-√（x-1）=1

√（x+1）=3/2

√（x-1）=1/2

√（x^2-1）=3/4

解:定义域 x>1

i）原方程变为

x+1+√（x+1）+√（x-1）+√[（x+1）（x-1）]=5

√（x+1）[√（x+1）+√（x-1）]+√（x+1）+√（x-1）=5

[√（x+1）+√（x-1）][√（x+1）+1]=5…①

令√（x+1）=a（a≥0），√（x-1）=b（b≥0）

（a+b）（a+1）=5

a^2+a+ab+b=5…①

a^2-b^2=2…②

由①x2:2a^2+2a+2ab+2b=10…③

由②:a^2=b^2+2代入③得

（a+b）^2-2（a+b）-8=0

[（a+b）+4][（a+b）-2]=0

∵a≥0，b≥0，∴a+b+4>4

∴仅存在a+b-2=0

∴a+b=2

∴√（x+1）+√（x-1）=2…④

分子有理化

√（x+1）-√（x-1）=1…⑤

④-⑤:2√（x-1）=1

∴√（x-1）=1/2

∴x=5/4

经验根，原方程的解为:x=5/4

ii）原方程变为

x-1+√（x+1）+√（x-1）+√[（x+1）（x-1）]=3

∴2x-2+2√（x+1）+2√（x-1）+2√[（x+1）（x-1）]=6

∴（x+1）+（x-1）+2√（x+1）+2√（x-1）+2√[（x+1）（x-1）]-8=0

{（x+1）+2√[（x+1）（x-1）]+（x-1）}+2√（x+1）+2√（x-1）-8=0

[√（x+1）+√（x-1）]^2+2[√（x+1）+√（x-1）]-8=0

[√（x+1）+√（x-1）+4][√（x+1）+√（x-1）-2]=0

∴√（x+1）+√（x-1）=2…①

分子有理化

√（x+1）-√（x-1）=1…②

①-②:2√（x-1）=1

∴√（x-1）=1/2

∴x=5/4

经验根，原方程的解为:x=5/4

iii）原方程变为

x-1+√（x+1）+√（x-1）+√[（x+1）（x-1）]=3

令√（x+1）=a（a≥0），√（x-1）=b（b≥0）

∴b^2+a+b+ab=3…①

a^2-b^2=2…②

由①x2:2b^2+2a+2b+2ab=6…③

由②:b^2=a^2-2代入③

b^2+（a^2-2）+2a+2b+2ab-6=0

∴（a^2+2ab+b^2）+2a+2b-8=0

∴（a+b）^2+2（a+b）-8=0

[（a+b）+4][（a+b）-2]=0

∵a≥0，b≥0，∴a+b+4>4

∴仅存在a+b-2=0

∴a+b=2

∴√（x+1）+√（x-1）=2…④

分子有理化

√（x+1）-√（x-1）=1…⑤

④-⑤:2√（x-1）=1

∴√（x-1）=1/2

∴x=5/4

经验根，原方程的解为:x=5/4