本节继续学习导数运算当中的综合应用。已知的fx函数是由x乘以x减一乘x减二乘以x减三，求的是零的时候对应的倒数值。

·第一种想法就是可以对整个fx先求出对应的倒数，然后再去把零带入进去。但是在求倒的过程当中，对于这样一个式子来说，首先就可以先把整个式子进行展开，展开之后再进行求导。但这个过程当中会发现整个计算还是比较复杂的。

对于现在求的f比零来说，就要注意到一个规律，就是这个函数在求导之后只要有出现x的，把零带进去之后得到的结果都是取到的是零，也就是并不需要知道含有x的这一项，不管是x几次方对应的前面系数是多少，当x等于零带入的时候得到的结果都是等于零的。

也就是相当于只要看圆函数当中x的一次方对应的系数是多少，因为在求导之后x一次方求导等于一，也就是整个导数当中的常数项是多少，对应的零的时候的倒数值就是多少。所以经过这样的分析，只要看原来fx函数当中x一次方的系数就可以了。

·第二种想法就是要得到x一次方的系数，后面的这三个括号当中对应的就是分别取到负一、负二和负三这三个相乘的时候，负六就是对应的系数，所以零的时候的倒数值得到了结果，也就是等于负六。这就是告诉在求倒数值的时候不一定要把倒数先写出来，而是要看所求的结果跟什么有关系。

·第三种想法就是对于倒数来说还要注意到倒函数的基偶性的问题，就是如果fx函数是偶函数的时候，对应的倒数就是积函数。而如果fx是积函数的时候，对应的倒数就是偶函数。

对于这样的判断，用函数的定义式来表示。比如第一个情况下写出倒数是等于这样一个极限的形式，就是fx加上德坦x减去fx除以德坦x来表示。对于这样一个式子当中，把x用负x代入的时候，同样的可以写出对应的结果出来。这边x改成负x加上德坦x减去f负x这样一个形式。

此时注意到的是原先的函数是偶函数的时候，这个式子当中可以把它表示成f，这边是x减去德坦x再减去fx再除以德坦x，此时就刚好跟倒数差一个符号的形式。因为这边上面的变量是负的德坦x，所以得到的结果就是负的倒数。根据这样一个情况就可以说明倒数。就是积函数了。如果函数是积函数的时候也是同样的道理，就是将f-x写出来的时候就等于当德塔区进零的时候f-x加上德塔x减去f-x除以德塔x。

因为是奇函数，所以这边前面的这部分就可以写成负的fx减德坦x再减去，这边是负的fx再的形式除以德坦x。将四指化解一下，得到的就是这边是fx减去fx减去德坦x除以德坦x的形式，刚好就是等于倒数。因为这边的x和x减德坦x的变化量就刚好是德坦x，所以有了这个情况说明了倒数是偶函数。

综合以下就可以说如果原函数是偶函数，它的导数就是奇函数，而原函数如果是奇函数，它的导数就是偶函数。另外这边还需要注意到的是如果倒数是低函数，它不能推出原函数是偶函数，同样的这边反过来也是不成立的。

这些因为在函数当中关于函数的问题，根据这一点来做这样一道题目。已知fx给了这样一个函数，fph是它的导数，当然求f2019加上fp2019以及加上f-的2019以及减去fp-的2019。对于这种2019和负2019的问题就需要去判断出函数当中的基偶性问题。

遇到这样一个分式首先要做到的就是先将式子进行分离，也就是上面式子可以化成x平方加一再加上2x再加上3x这样一个形式化解出来，就得到的是一加上x平方加一分之二x加上3x这个形式。这个形式当中一是一个常数，后面的这部分会发现父母是一个偶函数，而分子是一个奇函数，所以相减之后这一部分也就是一个奇函数。

在求职当中就会发现f2019加上f-2019的时候就是等于这边的两个一相加，也就是等于二的。由上面讲的积函数的倒数是偶函数的特点就发现，因为这边的一求打之后是等于零的，所以只要看后面的这一部分就可以了。对应的也就说明了倒数是一个偶函数，偶函数的函数值就是2019的时候的倒数值跟负的2019的倒数值也就是相等的，所以相减之后也是等于零，所以最终养这个式子得到结果也就等于二。