关系代数是实现关系操作的基本表示方法，关系代数运算按运符的不同分为传统的集合运算和专门的关系运算。专门的关系运算包括投影、选择、连接和除法运算，最后学习的运算是除法运算。

一、除法运算的定义

给定关系R（X，Y）和S（Y，Z），其中X，Y，Z为属性组。

R与S的除运算得到一个新的关系P（X），

P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：

R中元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，

象集：

给定一个关系R（X，Y），X和Y为属性组。定义，当t[X]=x时，x在R中的象集为：

它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Y上各分量的集合。

如下图所示，除法运算具体实例：R是选课关系，S是课程关系，a、b、c、d四个属性分别是学号、姓名、课程号、课程名，C、D就是课程号、课程名。

如果事先不知道课程表中的数据和选课表中的数据有哪些课、有哪些选课记录，那么，R÷S的结果是选了全部课程的学生的学号和姓名。

除法运算适合表达全部的问题。

二、除法运算的实现

除法运算是组合运算，可以用其它基本关系运算实现。R÷S还可表示为

求R:S的操作步骤如下:

如下图所示将除法运算分解：

第一步：关系R做第一列到第r-s列的投影，取中间结果赋值为T；

第二步：用关系T和S做笛卡尔积，再减去关系R，得到的结果为W；

第三步：对W做第一列到第r-s列的投影，结果赋值为V；

第四步：R÷S的结果就为T-V的结果，即最终结果。

R（X，Y）能被S（Y，Z）除的充分必要条件：

（1）R中包含S中的部分属性（R与S中的属性可以不同名，但必须有相同的值域）；

（2）R中有一些属性不出现在S中。

例题：已知集合R和集合S，求R÷S的结果。

第一步：对于关系R做投影，对前两列的投影，它的结果是将前两列投影出来；

第二步：然后和S做笛卡尔积，其结果再减去关系R，也就是说，对A、B的投影跟C、D做一个笛卡尔积，再把R减去，得出的b、c、c、d数据就是W是值；

第三步：再对W做A、B这两列的投影，结果就是b、c，也就是V的结果；

第四步：最后再把b、c减去，得出的结果就是a、b、e、d。