1. 不定积分（Indefinite Integrals）

题目 1（Problem 1）：计算以下不定积分（Evaluate the following indefinite integral）:

∫ (3x^2 - 4x + 5) dx

解析（Solution）：

- 使用幂法则积分（Using the Power Rule for Integration）：

∫ 3x^2 dx = (3/3)x^3 = x^3

∫ -4x dx = (-4/2)x^2 = -2x^2

∫ 5 dx = 5x

结合所有项并加上积分常数 C（Combine all terms and add the constant C）：

x^3 - 2x^2 + 5x + C

答案（Answer）：∫ (3x^2 - 4x + 5) dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C

题目 2（Problem 2）：计算以下不定积分（Evaluate the following indefinite integral）:

∫ (2e^x + sin x) dx

解析（Solution）：

- 逐项积分（Integrate term by term）：

∫ 2e^x dx = 2e^x

∫ sin x dx = -cos x

结合所有项并加上积分常数 C（Combine all terms and add C）：

2e^x - cos x + C

答案（Answer）：∫ (2e^x + sin x) dx = 2e^x - cos x + C

2. 定积分（Definite Integrals）

题目 1（Problem 1）：计算以下定积分（Evaluate the following definite integral）:

∫[0,2] (3x^2 - 2) dx

解析（Solution）：

- 计算不定积分（Find the indefinite integral）：

∫ (3x^2 - 2) dx = x^3 - 2x + C

- 计算定积分（Evaluate from 0 to 2）：

[2^3 - 2(2)] - [0^3 - 2(0)]

= (8 - 4) - (0 - 0) = 4

答案（Answer）：∫[0,2] (3x^2 - 2) dx = 4

3. 部分积分（Integration by Parts）

题目 1（Problem 1）：计算以下积分（Evaluate the following integral）:

∫ x e^x dx

解析（Solution）：

- 使用部分积分公式（Using Integration by Parts Formula）：

∫ u dv = uv - ∫ v du

- 设 u = x, dv = e^x dx

则 du = dx, v = ∫ e^x dx = e^x

- 应用部分积分（Apply Integration by Parts）：

∫ x e^x dx = x e^x - ∫ e^x dx

= x e^x - e^x + C

答案（Answer）：∫ x e^x dx = x e^x - e^x + C

4. 代换法（Substitution Method）

题目 1（Problem 1）：计算以下积分（Evaluate the following integral）:

∫ (2x) / (x^2 + 1) dx

解析（Solution）：

- 设 u = x^2 + 1，则 du = 2x dx

- 代换后积分变为（Substituting）：

∫ du / u = ln|u| + C

= ln|x^2 + 1| + C

答案（Answer）：∫ (2x) / (x^2 + 1) dx = ln|x^2 + 1| + C